Экваториальная система координат и суточное вращение небесной сферы

По этому разделу см. также [4], [5], [6].
 

Рис. 1. Экваториальная система координат (для северного полушария).
В экваториальной системе координат ([4], [5], [6]) главная ось - это ось мира, проходящая через полюса мира P и P' (рис.1), а главная плоскость - перпендикулярная ей плоскость, которая пересекает небесную сферу по большому кругу HWH'E, получившему называние небесного экватора. Небесный экватор делит небесную сферу на две полусферы - северное небесное полушарие и южное. Большой круг небесной сферы, проходящий через светило Q и полюса P и P', называется кругом склонений, он пересекается с экватором в точке К. Поскольку ось мира параллельна оси вращения Земли, то нетрудно догадаться, что небесный экватор является продолжением на небесную сферу земного экватора, и поэтому экваториальную систему координат можно назвать проекцией на небесную сферу географических координат (с учетом всего, что говорилось про уклонение линии отвеса в главе "Географические координаты").
 
Рис. 2. Теорема о высоте полюса мира.
Как расположены полюса мира и небесный экватор относительно горизонта? Прежде всего, полюса мира лежат в плоскости небесного меридиана, поскольку небесный меридиан является проекцией на небесную сферу плоскости земного меридиана в точке наблюдения, а последний - это местное направление север-юг. Далее, высота полюса мира над горизонтом равна широте места наблюдения - это утверждение иногда называют теоремой о высоте полюса мира [6]. Доказывается она очень просто, по рис. 2. Географическая широта φ точки А (см. главу "Географические координаты") - это угол при центре Земли О между плоскостью экватора и радиусом точки А (прямой ОА). Поскольку плоскость горизонта в точке А (на рис. 2 - прямая АG) перпендикулярна радиусу ОА, а направление на северный полюс мира APN перпендикулярно плоскости экватора ОЕ (по определению), то стороны углов АОЕ и GAPN попарно перпендикулярны, и поэтому эти углы равны. Следовательно, высота полюса мира PN действительно равна географической широте φместа наблюдения.

А теперь об экваториальных координатах. Первая из них определяется как угловое расстояние точки Q (рис. 1) от небесного экватора (дуга KQ), называется склонением и обозначается буквой δ. Склонение считается положительным к северу от экватора и отрицательным - к югу, и заключено в пределах от -90o до +90o. Угловое расстояние светила Q до полюса мира P называется полярным расстоянием p и равно дополнению склонения δ до 90o.

Чтобы задать вторую координату экваториальной системы, нужно зафиксировать точку отсчета на небесном экваторе. Тут есть два варианта, и по выбору этой точки различаются экваториальные системы координат I и II типа. В системе I типа точкой отсчета служит точка H - пересечение небесного экватора с небесным меридианом (рис. 1). Угол между плоскостью небесного меридиана и кругом склонений светила Q (или длина дуги HK), отсчитываемый в направлении вращения небесной сферы, т.е. к западу от точки Н, называется часовым углом t. Поскольку точка H не участвует в суточном вращении небесной сферы, то часовой угол t светила Q будет увеличивается пропорционально времени и его удобно выражать во временных единицах - часах, минутах и секундах. Обычно t измеряется по обе стороны от небесного меридиана в пределах от - 12ч до +12ч.

В системе II типа за точку отсчета принята точка весеннего равноденствия () - одна из двух точек пересечения экватора с эклиптикой (см. главу "Эклиптикальные координаты"), а именно - та точка, которую Солнце проходит весной при переходе из южного небесного полушария в северное [5]. Сейчас важно отметить, что точка весеннего равноденствия зафиксирована на небесной сфере и участвует в суточном вращении небесной сферы, и, следовательно, ее часовой угол меняется пропорционально времени. Угловое расстояние от точки весеннего равноденствия до круга склонений светила Q (дуга ^K), отсчитываемое против направления вращения небесной сферы (т.е. к востоку от ), называется прямым восхождением и обозначается буквой α (рис. 1). Естественно, для полюсов мира P и P' ни часовой угол, ни прямое восхождение не определены. При таком выборе направления отсчета прямое восхождение точки H также меняется пропорционально времени, поэтому α также обычно выражают во временных единицах - часах, минутах и секундах, но в пределах от 0ч до 24ч. Часовой угол точки весеннего равноденствия - длина дуги H на рис. 1 - называется звездным временем s, а промежуток времени между двумя последовательными одноименными кульминациями точки весеннего равноденствия - звездными сутками. За начало звездных суток принят момент верхней кульминации точки весеннего равноденствия. Как видно из этого рисунка, звездное время, часовой угол и прямое восхождение связаны простым соотношением:

Звездное время также обычно выражают в часах минутах и секундах, однако это вовсе не те часы, минуты и секунды, которые используется в повседневной жизни. Поскольку последняя связана с Солнцем, а Солнце в течении года смещается относительно точки весеннего равноденствия, то начало звездных суток осенью приходится на ночь, зимой - на вечер, весной - на день, а летом - на утро. Время, измеряемое по суточному движению Солнца, называется солнечным временем и описано в главах "Эклиптическая система координат ..." и "Измерение времени". В последней будет также приведена связь звездного времени с солнечным.

Теперь о связи между экваториальной системой координат и горизонтальной. Формулы перехода выводятся из сферического треугольника Полюс мира - Зенит - Светило [5]. Для вычисления склонения δ и часового угла t по географической широте φ, астрономическому азимуту А и зенитному расстоянию z, применяются следующие формулы:

Хотя неизвестных здесь только две, третье уравнение нужно для уточнения часового угла t, поскольку sin(t) соответствует двум его значениям: t и 180o - t. Как и следовало ожидать, для δ= +-90o (полюса мира) значение t не определено. Обратный переход - вычисление азимута A и зенитного расстояния z по известным φ, t и δ, осуществляется по следующим формулам: Для z = 0o и z = 180o (зенит и надир) азимут А не определен.

Однако и это еще не все. В приведенных формулах связи горизонтальных и экваториальных координат применяются топоцентрические экваториальные координаты, т.е. начала обеих систем координат находится в точке наблюдения на поверхности Земли - так определена горизонтальная система координат. А экваториальные координаты обычно известны (например, из моих же эфемерид Солнца, Луны и планет) геоцентрические, т.е. для воображаемого наблюдателя, находящегося в центре Земли. Для далеких небесных тел различие между ними (суточный параллакс) несущественно, но в пределах солнечной системы разница заметна. Поэтому при необходимости геоцентрические координаты светила α и δ и его диаметр d пересчитываются в топоцентрические α', δ' и d' по формулам:

        α' = α - p0*cos(φ)*sin(t)*sec(δ)

        δ' = δ - p0*(sin(φ)*cos(δ) - cos(φ)*sin(δ)*cos(t))

        d' = d*(1 + p0*(cos(φ)*cos(δ)*cos(t) + sin(φ)*sin(δ)))

Здесь t - часовой угол светила, p0 - его горизонтальный экваториальный параллакс. Как описано в главе "Сферическая система координат и небесная сфера", p0 = arctg(Re/r), где Re - средний экваториальный радиус Земли, а r - расстояние между центрами Земли и светила. Часто параллакс светила удобнее выражать через его видимый диаметр d, в этом случае p0 = d*Re/Ds, где d - геоцентрический угловой диаметр светила, а Ds - его линейный диаметр. Нетрудно догадаться, что параллакс светила, равного по размеру Земле (для Венеры это примерно так и есть), всегда будет равен углу, под которым с Земли виден его радиус, или половине его видимого диаметра. А отношение Re/Ds выражает, во сколько раз диаметр светила меньше радиуса Земли. В частности, для Луны p0 = 1.835*d. В практическом плане расстояние r и видимый диаметр светила d можно найти на моей же страничке - в эфемеридах Солнца, Луны и планет, а радиусы планет и их спутников - в справочных данных.

Вернемся к расположению экваториальной системы относительно горизонта. Поскольку склонение δявляется аналогом географической широты, а направление на зенит - продолжение радиуса, то из рис. 2 сразу следует, что склонение точки зенита Z также равно географической широте места наблюдения φ (т.е. светило в зените всегда имеет склонение и δ = φ), а угол между плоскостью небесного экватора и плоскостью горизонта равен 90o - φ. Линия восток-запад (EW на рис. 1) перпендикулярна линии север-юг (NS) и оси мира PP', т.е. является прямой пересечения плоскостей небесного экватора и горизонта. Из этого следует, что небесный экватор пересекает горизонт в точках востока E и запада W под тем же углом 90o - φ. Из того же рис. 1 видно, что склонение точки юга S равно φ - 90o, точки севера 90o - φ, а точки запада W и востока Е лежат на самом экваторе, поэтому их склонение равно 0o.
 

Рис. 3. Суточное движение светил по небесной сфере в средних широтах.
А теперь о суточном вращении небесной сферы. Будем пока рассматривать светила с постоянными координатами α и δ. Земля вращается с запада на восток вокруг оси PP' (рис. 2) со скоростью один оборот в сутки, поэтому кажущееся вращение небесной сферы будет происходить с той же скоростью и вокруг продолжения той же оси, но в обратную сторону, т.е. с востока на запад (рис. 3). Склонение любой точки на небесной сфере не меняется со временем, а часовой угол - пропорционален ему, поэтому каждое светило при суточном вращении будет двигаться параллельно небесному экватору, по малым кругам с постоянным склонением, которые так и называются: суточные параллели.

Касательные к суточным параллелям в разных точках небесной сферы будут направлены под разными углами к плоскости горизонта и параллельны ему только там, где они параллельны линии запад-восток (WE на рис. 1, поскольку она - линия пересечения плоскостей горизонта и небесного экватора), т.е. при пересечении плоскости, перпендикулярной этой линии, а эта плоскость - плоскость небесного меридиана. Нетрудно догадаться, что под наибольшим углом эти касательные пересекаются с плоскостью горизонта там, где они перпендикулярны линии запад-восток, то есть при часовых углах +-6ч. Касательные к суточным параллелям - это фактически направления векторов суточных скоростей движения светил. При пересечении небесного меридиана скорости направлены параллельно горизонту, поэтому высота светила в этот момент не меняется, а скорость изменения азимута максимальна. Момент прохождения светила через ту половину небесного меридиана (между полюсами мира P и P'), которая содержит зенит Z, характеризуется наибольшей за сутки высотой светила над горизонтом и называется верхней кульминацией. Момент прохождения через другую половину небесного меридиана (содержащего надир Z') - нижняя кульминация, и при этом высота светила минимальна. На часовых углах +-6ч все наоборот: скорость изменения высоты светила максимальна, а азимута - минимальна. Правда, эти знаменательные моменты особым названием не отмечены.
 

Рис. 4. Три области светил на небесной сфере.
Небесный экватор (δ = 0o) является большим кругом, поэтому половина экватора всегда находится над горизонтом, половина - под ним. При δ > 0o уже большая часть суточной параллели светила находится над горизонтом, и чем больше склонение, тем больше эта часть и тем ближе к точке севера светило будет восходить и заходить. Склонение точки севера равно 90o - φ, поэтому при δ = 90o - φточки восхода и захода сольются с точкой севера, в которой суточная параллель будет касаться горизонта. У светил с δ > 90o - φ нижняя кульминация будет происходить уже над горизонтом, т.е. светило будет незаходящим (рис. 4). Аналогично при δ < 0o большая часть суточной параллели светила находится под горизонтом, а точки восхода и захода смещены к югу тем сильнее, чем меньше склонение. При δ < φ - 90o верхняя кульминация наступит под горизонтом и светило будет невосходящим.
 
Рис. 5. Высота светил в кульминации.
Особый интерес представляет высота светила во время кульминаций. Наибольшая высота (90o) будет в верхней кульминации у светил, проходящих через зенит, т.е. при δ = φ. Как можно догадаться из рис. 5, верхняя кульминация светила с δ < φ будет происходить к югу от зенита (при δ < φ - 90o - под горизонтом), и их высота в этот момент составит h = 90o - φ+ δ. Светила с δ > φ в момент верхней кульминации будут расположены к северу от зенита на высоте h = φ+ p = 90o + φ- δ . Для нижней кульминации все наоборот. Через надир (h = - 90o) проходят светила с δ = - φ. Соответственно, нижняя кульминация светила с δ < -φ произойдет к югу от надира (и зенита) на высоте h = - φ- 180o + p = - φ- δ - 90o, а для δ > -φ - к северу от надира (зенита) на высоте h = φ- p = φ+ δ - 90o.

Знания того, что высота полюса мира равна широте места наблюдения, достаточно, чтобы понять, как меняется суточное движение светил на разных широтах (это банальная тема, но я все же коснусь ее, хотя и без традиционных рисунков). Так, при увеличении широты (при движении на север) северный полюс мира будет подниматься все выше над горизонтом, а небесный экватор и суточные параллели будет пересекать его под все меньшим углом (см. рис. 4). Соответственно, зоны незаходящих и невосходящих светил будут увеличиваться.

На северном географическом полюсе φ = 90o, северный полюс мира совпадает с зенитом, а небесный экватор - с математическим горизонтом. Поэтому суточные параллели не пересекаются с горизонтом, все светила северного небесного полушария являюся незаходящими, а южного - невосходящими. Высота светил равна их склонению и в течение суток не меняется (речь пока идет о светилах, неподвижных относительно небесной сферы), поэтому светила не кульминируют. Кстати, часовой угол t на северном географическом полюсе не определен, поскольку понятие небесного меридиана там теряет смысл (юг со всех сторон, а остальные стороны света отсутствуют). По той же причине не определен и азимут светил (за исключением ненадежного магнитного). Вот такая замечательная точка географический полюс. Прямое восхождение светил привязано к точке на небесной сфере, а не на горизонте, поэтому α на географическом полюсе определяется так же, как и в любой другой точке на поверхности Земли. Однако если все-таки зафиксировать на горизонте какую-либо точку (например, направление нулевого меридиана или положение точки весеннего равноденствия в некоторый начальный момент времени), то все противоречия снимаются. Угол между этой точкой и кругом склонений (вертикалом) светила будет меняться пропорционально времени (на 360o в сутки), поскольку этот угол будет аналогом часового угла (азимута).

При уменьшении широты (движение на юг) наблюдается обратная картина - высота северного полюса мира над горизонтом уменьшается, а небесный экватор и суточные параллели пересекают его под все большим углом. Соответственно, зоны незаходящих и невосходящих светил уменьшаются.

На экваторе φ = 0o, северный полюс мира совпадает с точкой севера, южный - с точкой юга, небесный экватор проходит через зенит, суточный параллели перпендикулярны горизонту и делятся им пополам. Зоны невосходящих и незаходящих светил отсутствуют - любое светило на экваторе половину суток находится над горизонтом, половину - под ним.

При дальнейшем движении на юг картина подобна описанной для движения на север, но только с той разницей, что в южном полушарии верхняя точка пересечения небесного экватора и небесного меридиана расположена к северу от зенита, а не к югу, как изображено на рис. 1.

ПРЕДЫДУЩАЯ СТРАНИЦА * ОГЛАВЛЕНИЕ * ССЫЛКИ * ТЕРМИНЫ * СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ * СЛЕДУЮЩАЯ СТРАНИЦА